ВЕРОЯТНОСТНАЯ ЛОГИКА


ВЕРОЯТНОСТНАЯ ЛОГИКА – раздел логики, изучающий логические системы, в которых множеством значений истинности высказываний служат вероятности (степени правдоподобия или подтверждения). Чаще всего вероятности добавляются к системе пропозициональной логики в качестве нового отношения, соединяющего множество высказываний и множество их значений из интервала 0<Р(А)<1, где Ρ (А) – вероятность истинности высказывания А. Т.о., система аксиом вероятностной логики состоит из трех частей: пропозициональной, задающей операции между высказываниями; арифметической, задающей операции между значениями вероятности; вероятностной, задающей функцию приписывания высказываниям их значений. Обычно арифметическая часть опускается и тогда система аксиом и правил вывода может иметь следующий вид:

A1.    Пропозициональное исчисление,

AB1. 0≤P(A\B) ≤1

АВ2. Р(А\А)=1

АВ3. Р(А&В\С) = Р(А\С) Р(В\АС)

АВ4. ˥BlP(A\B)=1–P(A\B)

АВ5. (A=C)&(B=D)l–P(A\B) = P(C\D),

где Р(A\В) есть вероятность истинности А при условии истинности В.

Нередко вероятностную логику рассматривают как уточнение индуктивной логики. Это связано с тем, что отношение между посылками индуктивного рассуждения можно оценивать с помощью вероятности. Значения этой вероятности можно определить либо численно, либо посредством сравнения понятий (больше, меньше, равно).

Еще одной разновидностью систем вероятностной логики являются системы прагматической вероятностной логики, в которых понятие вероятности используется для анализа прагматических аспектов исследования. К подобным логикам относятся вероятностные логики действия, вероятностные логики выбора, вероятностные логики изменения, вероятностные логики принятия решения, вероятностные логики предпочтения. При этом в ряде систем понятие вероятности в явном виде не фигурирует, но связь ее с основными понятиями в каждом случае можно легко установить.

Различение между знанием достоверным и правдоподобным (вероятностным) мы встречаем еще у элеатов (Парменид). Значительное место уделяет в своих работах по логике исследованию познания неопределенных ситуаций и Аристотель. Он противопоставляет аподиктическое, доказательное знание, знанию диалектическому и эвристическому, полученному с помощью умозаключений, основанных на проблематических посылках.

Идеи Аристотеля не получили развития. Лишь с возникновением в 17 в. математической теории вероятностей можно говорить об оживлении философского интереса к исследованию вероятностных методов. Лейбниц пишет в этой связи о необходимости нового раздела логики, основывающегося на тех новых способах рассуждений и понятиях, которые потребовались для разработки математической теории вероятности. С ним согласен и Я.Бернулли, который вслед за Лейбницем истолковывал вероятность как степень уверенности. Он рассматривает различные виды аргументов и проблему оценки их весомости для вычисления вероятностного заключения. И.Г.Ламберт идет еще дальше, и там, где Бернулли говорит о вероятности «вещей» и «дел», Ламберт прямо говорит о вероятности высказываний.

К 19 в. относится предложение представителей концептуалистского понимания логики (Буль, Джевонс, Де Морган, Порецкий) перевести классическую математическую теорию вероятности на язык логики высказываний. Среди других логиков 19 в., уделивших много внимания исследованию природы вероятности, был Ч.С.Пирс. Однако он не подвергал систематическому рассмотрению формальные основания вероятностного вывода. Другой подход развивается в работах представителей «содержательной логики», в частности у Дж.Венна, чья концепция представляет собой первую систематическую попытку развить теорию вероятностей на частотной основе. Наиболее интересными и фундаментальными из всех исследований в этой области были исследования Б. Больцано, к сожалению, незаслуженно забытые.

Первые аксиоматические системы, использующие вероятность как логическое отношение между высказываниями, были построены С.Н.Бернштейном в России (1917) и Дж.М.Кейнсом в Англии (1921). Но последний выходит за рамки обычного исчисления вероятности. (Он не ограничивает значения вероятности областью действительных чисел и, кроме того, у него существуют несравнимые по величине вероятности.)

Дальнейшее развитие идеи Кейнса получили в работах Г.Джеффри и Б.Купмана. В более поздней системе Р.Карнапа вместо функции Р(А\В) из аксиом ABl – АВ5 используются функции уверенности. Помимо этого используются также функции правдоподобия и функции подтверждения.

Несколько иначе рассматриваются подобные проблемы в системах вероятностной логики, основанных на эпистемологической интерпретации вероятности (Н.Гудмен, Г.Кайберг). В них вводится вероятностное отношение на множестве предложений («системе знаний») и если утверждение об эквивалентности двух предложений считается разумным, то эти предложения должны иметь одинаковые вероятности. При статистической интерпретации вероятности (Я. Шинделяр) место системы знаний занимает система допущений. Каждая процедура статистического вывода характеризуется при этом конкретным отношением выводимости, числом и рассмотренных допущений и числом m (или отношением m/n) тех допущений, для которых имеет место данное отношение выводимости. С металингвистической интерпретацией имеет дело система Г.Рейхенбаха (1949), где вероятность высказываний вычисляется как относительная частота истинности высказываний этого типа в их бесконечной (или конечной) вероятностной последовательности.

В последнее десятилетие совершенно новым стимулом к возникновению систем вероятностной логики послужил прогресс в развитии приложений логики к искусственному интеллекту. Характерным для новых систем является использование возможных миров семантики и связанной с ними логической техники (Н.Нильсон, Дж.Хальперн, Дж.Амати, М.Фатторози-Барнаба и др.). Для вероятностных логик, в которых исследуются утверждения об индуктивной вероятности, строится семантика возможных миров с вероятностной мерой, определенной на множестве миров или на множестве правильно построенных формул языка. В случае частотной вероятности более естественным оказывается задание вероятностной меры на множестве индивидов, а не миров.


Литература:

1.  Бернштейн С.Н. Теория вероятностей, 3-е изд. ГТТИ, 1935;

2.  Кайберг Г. Вероятность и индуктивная логика. М., 1978;

3.  Алешина Н.А. Вероятностная логика в искусственном интеллекте. – В кн.: Логические исследования, вып. 2. М., 1993;

4.  Keynes J. Treatise on Probability. L. – N.Y., 1921;

5.  Reichenbach H. The Theory of Probability. В. – Los Ang., 1949;

6.  Carnap R. The Logical Foundations of Probability. Ch., 1962.

В.Л.Васюков

 

Рекомендуем прочитать