СЛЕДОВАНИЕ ЛОГИЧЕСКОЕ

СЛЕДОВАНИЕ ЛОГИЧЕСКОЕ – отношение между некоторым множеством высказываний Г (гипотез) и высказыванием В (заключением), отображающее тот факт, что, в силу только логической структуры названных высказываний и, значит, независимо от их содержания нельзя приписать всем высказываниям из Г значение истинно, не будучи при этом быть вынужденным приписать это значение и высказыванию В. В этом случае говорят о логическом следовании В из Г в семантическом смысле и записывают этот факт как утверждение Γ⊧В, читаемое: из Г семантически следует В.

В формализованных логических теориях (исчислениях) выражение Г⊧В обозначает, что формула В этого исчисления в рамках принятой семантики является истинной (обобщенно для многозначных логик: принимает выделенное значение) всегда, когда являются истинными (принимают выделенные значения) все формулы из Г.

В рамках логики, фиксирующей нормы логических рассуждений с помощью формализованных теорий (логических исчислений), говорят об отношении логического следования в смысле выводимости В из Г в некотором исчислении Т. Символически это записывают как Г⊢В с указанием, если необходимо, о каком исчислении идет речь. Г⊢В представляет собой метаутверждение о существовании построенной по определенным правилам конечной последовательности формул, называемой выводом из гипотез (см. Вывод логический), в которой последняя формула есть В. При наличии такой последовательности и говорят о логическом следовании В из Г в смысле выводимости. Если при построении последовательности оказывается возможным обойтись без использования посылок, то говорят, что В логически следует из пустого списка гипотез, что принимают как факт его логической доказуемости, в том смысле, что В является теоремой исчисления Т (символически: ⊢В). Логические исчисления и определение в них вывода из гипотез строятся с таким расчетом, чтобы в рамках принятой для исчисления семантики условия истинности формул Г гарантировали истинность В. Более строго, семантика должна исключать случаи, при которых все входящие в Г формулы были бы истинными, а В было при этом ложным. Утверждения Г⊢В могут быть использованы как правила логики для высказываний с логической структурой, которую отображают соответственно формулы из Г и формула В.

В классической логике множества верных утверждений вида Г⊢В и Г⊧В совпадают в том смысле, что каждому Г⊢В соответствует Г⊧В и наоборот.

Выражение ⊧В трактуется как утверждение о семантической истинности (общезначимости, тавтологичности В). Из понимания логического следования в семантическом смысле вытекает, что в случае семантической истинности В, мы должны признавать верным Г⊧В и А⊧В для любых Г и А. Иными словами, общезначимая формула следует из любой. Ясно также, что из всякой противоречивой (тождественно ложной) формулы ∙А (a также из противоречивой совокупности формул Г) следует произвольная формула В. При понимании логического следования в смысле выводимости мы должны признавать верным всякое утверждение А⊢В, в котором В – теорема исчисления, или А – отрицание теоремы. Эти принципы, связанные с классической трактовкой логического следования, выглядят достаточно странными как с интуитивной точки зрения, так и с позиций традиционного понимания, и не случайно в связи с этим говорят о парадоксах классического понимания следования.

В некоторых случаях такого рода парадоксальность препятствует адекватному логическому анализу содержательных связей между высказываниями и других требующих содержательного подхода вопросов. Встает задача устранения парадоксов. При необходимости можно, хотя здесь есть свои трудности, построить исчисление, которое не позволяло бы получать утверждений вида Г⊢В, признаваемых парадоксальными. При этом, однако, надо либо отказаться от совпадения классов утверждений о логическом следовании в двух указанных смыслах, либо изменить семантику логических связок, либо изменить понимание логического следования в семантическом смысле. Необходимо также изменить понятие вывода из гипотез, чтобы теоремы исчисления нельзя было рассматривать как следствия из произвольных гипотез. Примером проблем, которые возникают на пути решения перечисленных задач, трудностей с которыми приходится сталкиваться при их решении, служит история становления и развития релевантной логики. Говоря о проблеме логического следования, имеют ввиду не только уже названные вопросы. Все перечисленные трудности и проблемы значительно усложняются, когда логическое следование пытаются описать (формализовать) (см. Формализация) в объектном языке самих исчислений, за счет введения в этот язык соответствующей импликации. Теоремы таких исчислений в этом случае выступают как утверждения о следовании из утверждений о следовании же. Многие исследователи выступают против такой интерпретации импликации на том основании, что это влечет к смешению языка и метаязыка. Импликация объектного языка, по их мнению, выражает различного типа условные связи, включая и необходимую, порождаемую отношением логического следования. Различные подходы к формализации логического следования привели наряду с классической теорией материальной импликации к построению различных теорий строгой, сильной, аналитической, интенсиональной, релевантной и некоторых других видов импликации.


Литература:

1. Сидоренко Е.А. Логическое следование и условные высказывания. М., 1983.

Е.А.Сидоренко

Рекомендуем прочитать