КОНСТРУКТИВНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ

КОНСТРУКТИВНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ (в математике и логике) – одно из направлений в основаниях математики, в рамках которого исследования ограничиваются конструктивными процессами и конструктивными объектами. Конструктивное направление имеет точки соприкосновения с интуиционистской математикой (см. Интуиционизм). Конструктивисты сходятся с интуиционистами в трактовке предложений о существовании и в понимании дизъюнкции и в силу этого признают правильной данную Брауэром критику закона исключенного третьего. Вместе с тем конструктивисты считают неприемлемыми методологические основы интуиционизма. В основу своей теории действительных чисел интуиционисты кладут идею свободно становящейся последовательности, которую они считают интуитивно ясной, но которая для многих других математиков совсем не ясна. Эта идея, во всяком случае, несовместима с основным требованием конструктивного направления, состоящим в том, что лишь конструктивные объекты допускаются в качестве объектов исследования. Один из простейших (но достаточный для развития конструктивной математики) типов конструктивных объектов образуют слова (ряд букв) в некотором фиксированном алфавите. Естественным образом здесь применяется абстракция отождествления. При рассмотрении слов в данном алфавите возникает потребность в абстракции и другого типа – в абстракции потенциальной осуществимости. Она состоит в отвлечении от практических границ наших возможностей в пространстве, времени и материале при построении слов. Напр., мы отвлекаемся от практической невозможности написать на данной доске данным мелом сколь угодно длинные слова и начинаем рассуждать так, как если бы это было возможно. Мы утверждаем, в частности, что к любому слову в данном алфавите можно приписать справа любое другое слово в этом алфавите. Рассматривая натуральные числа как слова в однобуквенном алфавите, мы утверждаем, что любые два натуральных числа можно сложить. Это, однако, вовсе не означает, что мы начинаем рассматривать «натуральный ряд» как некоторый бесконечный объект. Такое рассмотрение было бы связано с абстракцией актуальной бесконечности, выходящей за рамки конструктивного направления и характерной для классической математики и логики. Здесь мы имеем водораздел, отделяющий конструктивное направление от классического.

Характерное различие между этими двумя направлениями связано с предложениями о существовании. Конструктивисты и классики по-разному понимают самый термин «существование» в связи с объектами математики и логики. В классической математике и логике доказываются многочисленные чистые теоремы существования, состоящие в утверждениях о существовании объектов с такими-то свойствами при полном игнорировании способов построения таких объектов. Конструктивисты отвергают такого рода предложения. Конструктивное понимание параметрических предложений о существовании (содержащих параметры, могущие принимать разные значения) предполагает их трактовку как предложений о возможности существования алгоритмов, перерабатывающих любое допустимое значение параметров в объект, существование которого утверждается. Напр., конструктивный смысл теоремы Евклида: «для всякого натурального числа существует простое число у, большее х» (где x играет роль параметра) усматривается в том, что имеется алгоритм, который даст возможность, исходя из произвольного натурального числа х, получить простое число у, большее – алгоритм, перерабатывающий любое натуральное число x в простое число у, большее x.

Конструктивному пониманию существования соответствует конструктивное понимание дизъюнкций – предложений вида «Р или Q». Такое предложение тогда считается установленным, когда хотя бы одно из предложений установлено как верное. Это понимание дизъюнкции не дает основания считать верным исключенного третьего закон. Т.о., конструктивное направление требует своей конструктивной логики, в некоторых важных аспектах отличной от классической. Оформление и развитие конструктивного направления имело место на основе осуществленного в 30-х гг. 20 в. уточнения понятия алгоритма. Слова в рассматриваемом алфавите, записи (программы) алгоритмов – все это потенциально осуществимые конструктивные объекты. Сам процесс применения алгоритма к данному слову рассматривается как потенциально осуществимый процесс. Для того, чтобы удостовериться в применимости алгоритма А к слову Р, не обязательно, чтобы процесс применения А к Ρ был выполнен перед нашими глазами от начала до конца. Здесь возможно применить рассуждение от противного: алгоритм А применим к слову Р, если предположение о неограниченной продолжаемости процесса применения А к Ρ опровергается приведением к нелепости. Данный способ рассуждения назвали принципом Маркова.

Использование точного понятия алгоритма дало возможность развивать конструктивную математику и конструктивную математическую логику как науки. Н.А.Шанин построил алгоритм конструктивной расшифровки, выделяющий из любой математической формулы явное построение конструктивного объекта и условие, которое необходимо доказать для корректности данного построения. Он заметил, что для обоснования уже сделанного построения можно, в предположении принципа Маркова, использовать классическую логику. Т.о., при конструктивном понимании формула содержит две задачи: задачу на построение и задачу на доказательство. Если первая из них практически с неизбежностью требует перехода к неклассической логике, то вторая зачастую может быть решена традиционными средствами. Это разделение двух типов задач явилось важным методологическим следствием, достичь которого помог принцип Маркова, поскольку без него такого простого алгоритма расшифровки и простой характеризации задач на доказательство достичь не удается.

Вместе с тем Б.А.Кушнер выяснил, что из чисто математических результатов от принципа Маркова зависит лишь теорема Г.С.Цейтина о непрерывности конструктивных функций действительного переменного. Но как раз она явилась самым важным результатом конструктивного анализа. Ее доказательство в корне отлично от соответствующей теоремы интуиционистского анализа, поскольку опирается не на ограниченность доступной конечной информации о бесконечных объектах, а на сложность полной информации об алгоритмах, которыми располагает конструктивная функция. Свойства конструктивных функций оказались резко отличными от классических.

Еще более жесткий вариант конструктивного подхода предложил Р.Л.Гудстейн. Он использовал лишь такие алгоритмы, которые по своему определению заведомо заканчивают работу, и лишь такие свойства их, которые выражаются в виде ∀x1 … xn f(x) =g(x). Т.о., он изгнал не только неконструктивные объекты, но и идеальные суждения (см. Финитизм). Даже столь простые утверждения, как существование предела вычислимой последовательности, пришлось приближать более простой последовательностью. В дальнейшем подобным путем пошел Н.А.Шанин, создав теорию приближений идеальных высказываний непосредственно конструктивно интерпретируемых. Порою такие приближения (трансфинитные развертки, по Шанину) позволяют выявить глубоко скрытый конструктивный смысл классических чистых теорем существования.

Наоборот, Э.Бишоп, создатель американской школы конструктивизма, свободно пользовался идеальными высказываниями, но отвергал принцип Маркова, поскольку он потребовал бы признать, что все эффективные построения являются алгоритмами, а Бишоп заметил, что, умалчивая об этом, мы можем получить незаурядные теоретические преимущества (хотя все построенные нами методы остаются алгоритмическими). Это еще один случай, когда намеренное незнание показало свой мало использованный в рациональных науках потенциал.

П.Мартин-Лёф создал оппортунистическую систему, воспользовавшись наблюдением Клини, что фиксация алгоритмических функций еще не означает фиксации алгоритмов преобразования функций. Объекты нижнего уровня у него алгоритмы, а высших – строятся по Бишопу. Конструктивная математика, по Мартин-Лёфу, изложена столь же строго, как и российская, но включила многие преимущества до сих пор не формализованного изложения Бишопа. Свойства функций, по Бишопу и Мартин-Лёфу, оказались значительно ближе к классическим, расходясь с ними лишь в тех случаях, когда классические теоремы существования не дают и не могут дать никакого алгоритмического построения. Доказательства теорем у них, как правило, короче и прозрачнее, чем в трудах российской школы. Таких преимуществ они достигли за счет более смелого использования идеальных понятий.


Литература:

1. Марков А.А. Теория алгорифмов. – Труды Математического института, т. 42. М., 1954;

2. Шанин Н.А. О конструктивном понимании математических суждений. – Там же, т. 52. М.–Л., 1958;

3. Гудстейн Р.Л. Рекурсивный математический анализ. М., 1970;

4. Кушнер Б.А. Лекции по конструктивному математическому анализу. М., 1973;

5. Мартин-Лёф П. Очерки по конструктивной математике. М., 1975;

6. Марков Α.Α., Нагорный Н.М. Теория алгорифмов. М., 1984;

7. Bishop Ε. Foundations of constructive analysis. N.Y., 1967;

H.H.Непейвода

Рекомендуем прочитать