ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО ЗАКОН

ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО ЗАКОН – один из трех главных законов традиционной логики, сформулированных Аристотелем. Его оригинальная формулировка «Оба утверждения А и не-A не могут быть одновременно ложны». Но уже у самого Аристотеля в «Метафизике» встречается (не как закон, а как способ рассуждения) другая формулировка, в настоящее время более употребительная: «Одно из утверждений А или недолжно быть истинным» (сильный исключенного третьего закон).

Эта формулировка получила в схоластической логике название tertium non datur.

Сам Аристотель указал и границу применимости tertium non datur, рассмотрев пример высказывания: «Завтра будет морское сражение», которое сегодня не истинно и не ложно.

На языке математической логики сильный исключенного третьего закон выражается формулой A ⋁⌉A, которая часто подменяет его в современных математизированных работах и называется математическим законом исключенного третьего. Но последний не эквивалентен ни сильному исключенного третьего закону, ни аристотелеву. В частности, в алгебраической интерпретации со значениями в булевой алгебре выполнены все законы классической логики, но как А, так и ⌉А могут быть неистинны. Сильный исключенного третьего закон математически означает полноту используемой теории, что практически недостижимо.

Аристотелев закон (в первой формулировке) выполняется в интуиционистской логике, a tertium non datur носит в ней статус весьма нежелательного утверждения. Одним из способов показать конструктивную неприемлемость утверждения А является доказательство tertium, исходя из А. Впервые такой метод явно сформулировал В.Крейнович.

Сильный закон исключенного третьего оказался тем критическими местом, вокруг которого развивались дискуссии в течение всего времени существования логики как науки. Стоики и эпикурейцы рассматривали логики, несовместимые с законом исключенного третьего (как правило, не замечая разницы между его сильной и Аристотелевой формулировкой). Интуиционизм начинался с утверждения о недостоверности сильного исключенного третьего закона, но он опровергает его достаточно тонко, сохраняя слабый закон исключенного третьего и придавая ему точную математическую формулировку: ⌉⌉(А ⋁⌉А), не вводя дополнительных логических значений. Эту формулировку можно назвать брауэровым исключенного третьего законом. Первое формальное доказательство этого брауэрова закона дал Гливенко (1928). Многозначные логики в значительной степени появились как результат простейшей формулировки отрицания сильного закона исключенного третьего (может быть не два значения, а несколько).

В целом критику закона исключенного третьего (в его сильной форме) можно подытожить следующим образом. Он годится для рассмотрения терминов в фиксированной обстановке с фиксированной точки зрения. Он не подходит для меняющейся обстановки и субъективных понятий. Он не допустим даже для терминов, если нас интересует не просто доказательство, а построение.

Тем не менее во всех перечисленных случаях порою его использование корректно и весьма эффективно, но требует дополнительных обоснований. Так, в элементарной классической геометрии сильный закон исключенного третьего не влечет разрушения конструктивности доказательств.

Н.Н.Непейвода

 

 

Рекомендуем прочитать