ЭФФЕКТИВИЗМ

ЭФФЕКТИВИЗМ, полуинтуиционизм – направление в философских основаниях математики, сложившееся в начале 20 в. во французской школе теории функций и множеств (Э.Борель, А.Лебег, Р.Бэр и др.) как реакция на крайнюю абстрактность канторовской множеств теории, претендовавшей на исчерпывающее обоснование математического анализа (теории пределов) да и всей математики. Это обоснование «хотя и дало интересные и очень творческие результаты, но не привело к уверенности в строгости, т.к. сама общая теория множеств, развиваемая чисто логически, вошла в столкновение с парадоксами, остановившими ее бурное развитие» (Лузин Н.Н. Собр. соч., т. 3. М., 1959, с. 312). Т.о., философские установки эффективизма определялись его оппозицией к основным (подозрительным) абстракциям канторовской теории – актуальной бесконечности, произвольного выбора, трансфинитной индукции. Не отрекаясь от теоретико-множественных методов мышления вообще, эффективисты попытались переосмыслить эти абстракции на основе принципов, близких к позиции эмпиризма. В частности, они считали реальными только такие абстрактные объекты математики, которые прошли проверку на их конечную определимость (выразимость) и индивидуацию. В этом смысле вещественный континуум не был строго определенным понятием, не говоря уже о континуумах более высокого порядка (напр., всех вещественных функций). Поэтому эффективисты в качестве реальных множеств признавали только счетные (как доступные опыту), а все другие (трансфинитные) рассматривали (еще до гильбертовского формализма) как идеальные объекты, возможно полезные (в качестве символов) для классификации математических реалий, но лишенные эмпирического содержания. В итоге главной философской заслугой эффективизма является конструктивное осмысление континуума без ясной идеи самих конструктивных методов. По существу эффективизм и положил начало осознанию важности этих методов в математике. Он первый (при отсутствии точного понятия алгоритма) ввел понятие вычислимых точек континуума и отделил «счетность» множества от его «перечислимости» (Борель). Правда, оценивая рассуждения о трансфинитном только как façon de parler, связанные с некритическим использованием абстракции актуальной бесконечности, эффективизм (в отличие от интуиционизма и конструктивного направления) недооценил роль логики в признании допустимости тех или иных рассуждений. Встав на путь построения «конструктивной теории множеств», он не отказался от классической логики, полагая, что существование многих логик было бы для математики «печальной роскошью» (Лузин). Тем не менее именно философские установки эффективизма позднее инициировали многие исследования в области логики и металогики (А.Тарский, Т.Скулем, П.С.Новиков). Усилиями эффективистски мыслящих математиков была создана и дескриптивная теория множеств (функций), развитие которой в 20–30 гг. связано прежде всего с работами участников Московской математической школы, руководимой H.H.Лузиным.


Литература:
Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики. М.–Л., 1936, § 2;
Гливенко В.И. Кризис основ математики на современном этапе его развития. – В кн.: Сб. статей по философии математики. М., 1936;
Лузин Н.Н. Собр. соч., т. 2. М., 1958;
Медведев Ф.А. Французская школа теории функций и множеств на рубеже 19–20 вв. М., 1976;
Borel E. Leçons sur la théorie des fonctions. P., 1928.

M.M.Новосёлов

Рекомендуем прочитать